Cołkowańy bez podstawjyńy

Cołkowańy bez podstawjyńy – jedyn ze kńifůw rachowańo zawartych form cołkůw.

Uopis kńifu

Eli:

• Fůnkcyjo $\psi (x)$ je růżniczkowalno we $D$
• $I=\psi (D)$ je przedźołym
• Fůnkcyjo $g(x)$ mo pjerwotno fůnkcyjo we przedźole $I$, tj. $G'(t)=g(t)$ lo $t$ kere przinoleżům do $I$
• $f(x)=g(\psi (x))\cdot \psi '(x),x\in D$

to fůnkcyjo $f$ je cołkowalno we $D$ a tyż:

$\int f(x)dx=\int g(\psi (x))\cdot \psi '(x)dx=G(\psi (x))+C$

Tyż, eli je mogebne cołka przełonaczyć do postaći:

$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx$,

to je mogebne půmjyńić podstawa cołkowańo na $g(x)$:

$\int f(g(x))dg(x)$.

We przipadku rachowańo uoznoczůnych całkůw bez podstawjyńe půmjyńyńu podlygajům grańice cołkowańo. We uůnym przipadku twjerdzyńe uo cołkowańu bez podstawjyńe wypado tak:

Założyńa:

• Funkcyjo f je cołkowalno we uůnyj dźedźińe.
• Funkcyjo g uokreślůno na przedźole [a; b] je růżniczkowalno we kńif sztyjcowy.
• g'(x)≠0 lo kożdygo x s przedźołu (a; b)
• Uobroz funkcyji g zawjyro śe we dźedźińe funkcyji f.

Wuůnczas:

$\int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=\int \limits _{a}^{b}f(g(t))\cdot g'(t)dt$

Bajszpile

• Rachujůnc cołka $\int {\tfrac {\ln x}{x}}dx$, je mogebne zastosować podstawjyńe $\ln x=t$, tj.${\tfrac {dx}{x}}=dt$, wjync:

$\int {\frac {\ln x}{x}}dx=\int tdt={1 \over 2}t^{2}+C={1 \over 2}\ln ^{2}x+C$.

• Bajszpil zastosowańo kńifu cołkowańo bez podstawjyńe bez půmocńiczej zmjynnyj:

$\int \sin(2x+3)dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)2dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)d(2x+3)=-{\frac {1}{2}}\cos(2x+3)+C.$

Uobocz tyż

• cołkowańy bez tajle