Grupa - we matymatyce je to para zbajstlowano ze skuplowańo myngi (
G
{\displaystyle G}
) a dwuargumyntowego dźołańo (
∘
{\displaystyle \circ }
) cuzamyn, przi czym prawe muszům być take regle:
Jak
a
{\displaystyle a}
a
b
{\displaystyle b}
sům elemyntůma uod
G
{\displaystyle G}
, to tyż
a
∘
b
{\displaystyle a\circ b}
je elemyntym uod
G
{\displaystyle G}
.
Dźołańe jest asocjatywne:
(
a
∘
b
)
∘
c
=
a
∘
(
b
∘
c
)
{\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}
, przi czym
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
noleżům do
G
{\displaystyle G}
.
Je taki elemynt
e
{\displaystyle e}
we
G
{\displaystyle G}
, aże:
g
∘
e
=
g
=
e
∘
g
{\displaystyle g\circ e=g=e\circ g}
lo kożdygo elemyntu
g
{\displaystyle g}
we
G
{\displaystyle G}
. Elemynt
e
{\displaystyle e}
mjanujymy neutralnym .
Lo kożdygo elemyntu
g
{\displaystyle g}
we
G
{\displaystyle G}
do śe znojść elemynt
g
−
1
{\displaystyle g^{-1}}
, kery tyż noleżi do
G
{\displaystyle G}
taki, aże:
g
∘
g
−
1
=
g
−
1
∘
g
=
e
{\displaystyle g\circ g^{-1}=g^{-1}\circ g=e}
. Elemynt
g
−
1
{\displaystyle g^{-1}}
mjanujymy uodwrotnym abo inwersyjům uod
g
{\displaystyle g}
. Uobrocańe kostki Rubika wroz ze kombinacyjůma ji ustawjyńa bajstlujům grupa.
Jeli krům tygo prawe je:
a
∘
b
=
b
∘
a
{\displaystyle a\circ b=b\circ a}
lo kożdych elemyntůw
a
,
b
{\displaystyle a,b}
uod
G
{\displaystyle G}
to grupa tako mjanowano je abelowům [ 1] .
Grupa je szrajbowano zauobycz we postaći
(
G
;
∘
)
{\displaystyle (G;\circ )}
kaj
G
{\displaystyle G}
je myngům, a
∘
{\displaystyle \circ }
dźołańym. Roz a kedy używany je szrajbůnek
(
G
;
∘
,
e
,
g
−
1
)
{\displaystyle (G;\circ ,e,g^{-1})}
, kaj
e
{\displaystyle e}
je neutralnym elemyntym a
g
−
1
{\displaystyle g^{-1}}
uodwrotnym.
Tajla matymatyki, ftoro bado własnośći grupůw to teoryjo grupůw . Pjyrszym co doł anfang tymu pojyńću bůł Évariste Galois we 1830.
(
Z
;
+
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} ;+)}
, kaj
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
je myngům cołkowitych nůmerůw a
+
{\displaystyle +}
dodowańym .
Neutralny elemynt:
0
{\displaystyle 0}
Lo kożdygo
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
uodwrotnym elemyntym je
−
g
{\displaystyle -g}
.
(
R
;
+
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ;+)}
, kaj
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
je myngům realnych nůmerůw a
+
{\displaystyle +}
dodowańym.
Neutralny elemynt:
0
{\displaystyle 0}
Lo kożdygo
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
uodwrotnym elemyntym je
−
g
{\displaystyle -g}
.
(
A
;
∘
)
{\displaystyle (A;\circ )}
, kaj
A
=
{\displaystyle A=}
{
1
,
3
,
7
,
9
{\displaystyle 1,3,7,9}
}, a
∘
{\displaystyle \circ }
je takim dźołańym, aże wert dźołańo
a
∘
b
{\displaystyle a\circ b}
je resztům ze tajlowańo bez
10
{\displaystyle 10}
ilorazu
a
{\displaystyle a}
i
b
{\displaystyle b}
. Na tyn przikłod
7
∘
9
=
3
{\displaystyle 7\circ 9=3}
.
Neutralny elemynt:
1
{\displaystyle 1}
Lo
1
{\displaystyle 1}
uodwrotnym elemyntym je
1
{\displaystyle 1}
Lo
3
{\displaystyle 3}
uodwrotnym elemyntym je
7
{\displaystyle 7}
Lo
7
{\displaystyle 7}
uodwrotnym elemyntym je
3
{\displaystyle 3}
Lo
9
{\displaystyle 9}
uodwrotnym elemyntym je
9
{\displaystyle 9}
Ji mynga mo wszyjske mogebne symetryje kwadrata, a dźołańe je kůplowańym tych symetryjůw tak, aże lo
a
∘
b
=
c
{\displaystyle a\circ b=c}
(kaj
a
,
b
,
c
∈
G
{\displaystyle a,b,c\in G}
)
c
{\displaystyle c}
je symetryjům zbajstlowanům bez zrobjyńy nojsamprzůd symetryji
a
{\displaystyle a}
, potym
b
{\displaystyle b}
na kwadraće. Tako grupa mogymy zapisać kej:
(
A
;
∘
)
{\displaystyle (A;\circ )}
, kaj
A
=
{\displaystyle A=}
{
i
d
,
↺
,
↶
,
↻
,
↔
,
↕
,
↘
,
↙
{\displaystyle id,\circlearrowleft ,\curvearrowleft ,\circlearrowright ,\leftrightarrow ,\updownarrow ,\searrow ,\swarrow }
}[ 2] .
Neutralnym elemynt:
i
d
{\displaystyle id}
Inwerysjo uod kożdygo elemyntu pokozano je we tabůli ńiżyj:
g
{\displaystyle g}
i
d
{\displaystyle id}
↺
{\displaystyle \circlearrowleft }
↻
{\displaystyle \circlearrowright }
↶
{\displaystyle \curvearrowleft }
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
↕
{\displaystyle \updownarrow }
↘
{\displaystyle \searrow }
↙
{\displaystyle \swarrow }
g
−
1
{\displaystyle g^{-1}}
i
d
{\displaystyle id}
↻
{\displaystyle \circlearrowright }
↺
{\displaystyle \circlearrowleft }
↶
{\displaystyle \curvearrowleft }
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
↕
{\displaystyle \updownarrow }
↘
{\displaystyle \searrow }
↙
{\displaystyle \swarrow }
Zuobrazowańe elemyntůw grupy
D
4
{\displaystyle D_{4}}
:
i
d
{\displaystyle id}
↻
{\displaystyle \circlearrowright }
↶
{\displaystyle \curvearrowleft }
↺
{\displaystyle \circlearrowleft }
↕
{\displaystyle \updownarrow }
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
↘
{\displaystyle \searrow }
↙
{\displaystyle \swarrow }
Przipisy
↑ Mjano abelowo grupa połaźi uod Nielsa Henrika Abela (1802–1829), norwyskego matymatykera.
↑
i
d
{\displaystyle id}
- uostawjo kwadrat taki jaki je (neutralny elemynt).
↺
{\displaystyle \circlearrowleft }
- uobrót uo 90 stopńůw .
↶
{\displaystyle \curvearrowleft }
- uobrót uo 180 stopńůw.
↻
{\displaystyle \circlearrowright }
- uobrót uo 270 stopńůw.
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
- poźůme uodbiće
↕
{\displaystyle \updownarrow }
- pjonowe uodbiće
↘
{\displaystyle \searrow }
- uodbiće wele uośi, kero lyźe ze gůrnyj lewyj do dolnyj prawyj eki
↙
{\displaystyle \swarrow }
- uodbiće wele uośi, kero lyźe ze gůrnyj prawyj do dolnyj lewyj eki