Grupa (matymatyka)

Grupa - we matymatyce je to para zbajstlowano ze skuplowańo myngi ($G$) a dwuargumyntowego dźołańo ($\circ$) cuzamyn, przi czym prawe muszům być take regle:

1. Jak $a$ a $b$ sům elemyntůma uod $G$, to tyż $a\circ b$ je elemyntym uod $G$.
2. Dźołańe jest asocjatywne: $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$, przi czym $a$, $b$, $c$ noleżům do $G$.
3. Je taki elemynt $e$ we $G$, aże: $g\circ e=g=e\circ g$ lo kożdygo elemyntu $g$ we $G$. Elemynt $e$ mjanujymy neutralnym.
4. Lo kożdygo elemyntu $g$ we $G$ do śe znojść elemynt $g^{-1}$, kery tyż noleżi do $G$ taki, aże: $g\circ g^{-1}=g^{-1}\circ g=e$. Elemynt $g^{-1}$ mjanujymy uodwrotnym abo inwersyjům uod $g$.

Uobrocańe kostki Rubika wroz ze kombinacyjůma ji ustawjyńa bajstlujům grupa.

Jeli krům tygo prawe je: $a\circ b=b\circ a$ lo kożdych elemyntůw $a,b$ uod $G$ to grupa tako mjanowano je abelowům.

Grupa je szrajbowano zauobycz we postaći $(G;\circ )$ kaj $G$ je myngům, a $\circ$ dźołańym. Roz a kedy używany je szrajbůnek $(G;\circ ,e,g^{-1})$, kaj $e$ je neutralnym elemyntym a $g^{-1}$ uodwrotnym.

Tajla matymatyki, ftoro bado własnośći grupůw to teoryjo grupůw. Pjyrszym co doł anfang tymu pojyńću bůł Évariste Galois we 1830.

Bajszpile

• $(\mathbb {Z} ;+)$, kaj $\mathbb {Z}$ je myngům cołkowitych nůmerůw a $+$ dodowańym.

Neutralny elemynt: $0$

Lo kożdygo $g\in G$ uodwrotnym elemyntym je $-g$.

• $(\mathbb {R} ;+)$, kaj $\mathbb {R}$ je myngům realnych nůmerůw a $+$ dodowańym.

Neutralny elemynt: $0$

Lo kożdygo $g\in G$ uodwrotnym elemyntym je $-g$.

• $(A;\circ )$, kaj $A=${$1,3,7,9$}, a $\circ$ je takim dźołańym, aże wert dźołańo $a\circ b$ je resztům ze tajlowańo bez $10$ ilorazu $a$ i $b$. Na tyn przikłod $7\circ 9=3$.

Neutralny elemynt: $1$

Lo $1$ uodwrotnym elemyntym je $1$

Lo $3$ uodwrotnym elemyntym je $7$

Lo $7$ uodwrotnym elemyntym je $3$

Lo $9$ uodwrotnym elemyntym je $9$

• Diederowo grupa lo kwadratu (fachowo szrajbowano $D_{4}$):

Ji mynga mo wszyjske mogebne symetryje kwadrata, a dźołańe je kůplowańym tych symetryjůw tak, aże lo $a\circ b=c$ (kaj $a,b,c\in G$) $c$ je symetryjům zbajstlowanům bez zrobjyńy nojsamprzůd symetryji $a$, potym $b$ na kwadraće. Tako grupa mogymy zapisać kej:

$(A;\circ )$, kaj $A=${$id,\circlearrowleft ,\curvearrowleft ,\circlearrowright ,\leftrightarrow ,\updownarrow ,\searrow ,\swarrow$}.

Neutralnym elemynt: $id$

Inwerysjo uod kożdygo elemyntu pokozano je we tabůli ńiżyj:

$g$	$id$	$\circlearrowleft$	$\circlearrowright$	$\curvearrowleft$	$\leftrightarrow$	$\updownarrow$	$\searrow$	$\swarrow$
$g^{-1}$	$id$	$\circlearrowright$	$\circlearrowleft$	$\curvearrowleft$	$\leftrightarrow$	$\updownarrow$	$\searrow$	$\swarrow$

Zuobrazowańe elemyntůw grupy $D_{4}$:

$id$	$\circlearrowright$	$\curvearrowleft$	$\circlearrowleft$
$\updownarrow$	$\leftrightarrow$	$\searrow$	$\swarrow$